Каков наилучший способ обновления страницы Flask данными сложных вызовов API?

Я бы лично пошел с AJAX здесь просто потому, что он наиболее широко используется, и поэтому у меня будет лучшая документация, на которую можно сослаться, если вы застряли. Вы упоминаете, что уже используете JQuery, что сделает интеграцию AJAX очень простой. Я уверен, что поиск "фляга AJAX JQuery" даст вам хорошие результаты сразу.

Я также рекомендую опубликовать соответствующий код, который у вас есть (конечные точки Flask / логика). Это определенно поможет людям помочь вам, и в целом это хороший этикет StackOverflow.