кнопка должна удалить конкретный элемент на стороне сервера

вы храните все в памяти, принимая это как должное, вы можете начать с использования простого объекта, а не массива для хранения ваших данных

expArr = {}

, а затем добавить уникальный идентификатор, такой как хеш или дату в мс для каждого экземпляра

var exp = new Object();
exp.id = new Date().getUTCMilliseconds();
exp.name = req.body.name;
exp.value = req.body.val;
exp.date = req.body.date;
exp.description = req.body.descr;

expArr[exp.id] = exp;

теперь обязательно передайте от клиента правильный идентификатор, когда вы хотите удалить расходы

router.post('/removetodo', function (req, res, next) {
 if(expArr[req.body.id]) {
   delete expArr[req.body.id];
 }
 res.redirect("/");
});