Как я могу опубликовать ASP.Net Core Web Api для HTTP вместо HTTPS в разработке?

Исходя из ваших комментариев, вы можете подумать о написании метода расширения :

public static bool TryAddCookie(this WebRequest webRequest, Cookie cookie)
{
    HttpWebRequest httpRequest = webRequest as HttpWebRequest;
    if (httpRequest == null)
    {
        return false;
    }

    if (httpRequest.CookieContainer == null)
    {
        httpRequest.CookieContainer = new CookieContainer();
    }

    httpRequest.CookieContainer.Add(cookie);
    return true;
}

Тогда вы можете иметь код типа:

WebRequest webRequest = WebRequest.Create( uri );
webRequest.TryAddCookie(new Cookie("someName","someValue"));