Есть ли способ обработать данные формы post в контроллере Web Api?
Обычный подход в ASP.NET Web API должен представлять форму как модель, поэтому форматер форматов мультимедиа десериализует его. Альтернативой является определение параметра действия как NameValueCollection:
public void Post(NameValueCollection formData)
{
var value = formData["key"];
}