Как выполнить действие, когда пользователь заходит на экран или уходит от него?

У React Navigation есть API жизненного цикла, чтобы делать именно то, что вы описываете:

Для получения дополнительной информации проверьте документы: https://reactnavigation.org/docs/en/navigation-lifecycle.html

Часть этого API - это с NavigationFocus HOC, и это обеспечивает isFocused prop, который указывает, виден ли экран.

Пример:

import { withNavigationFocus } from 'react-navigation';

class SomeScreen extends React.Component {

  componentDidUpdate(prevProps) {
    if (this.props.isFocused && !prevProps.isFocused) {
      // Screen has now come into focus
    }
  }

}

export default withNavigationFocus(SomeScreen)