Как я могу анимировать фоновое изображение после удаления класса с помощью Javascript?

Чтобы сделать функцию доступной для объектов jQuery, вы добавляете ее в прототип jQuery (fn - ярлык для прототипа в jQuery), например:

jQuery.fn.myFunction = function() {
    // Usually iterate over the items and return for chainability
    // 'this' is the elements returns by the selector
    return this.each(function() { 
         // do something to each item matching the selector
    }
}

Обычно это называется jQuery плагин .

Пример - http://jsfiddle.net/VwPrm/