Как мне написать функцию, которая принимает строку и возвращает общее количество определенных символов в строке, без использования .count?

Вы можете попробовать использовать словарь по умолчанию. В отличие от обычного словаря, он предоставляет значение по умолчанию, если ключ не существует в словаре.

from collections import defaultdict

string = 'quick brown fox'

letter_count = defaultdict(int)

for letter in string:
  letter_count[letter] += 1

print(letter_count)