Алгоритм нахождения специальной точки k за время O (n log n)

Задайте нижнюю границу n log n времени для алгоритма, чтобы проверить, если набор точки имеет особую точку k.

k определяется как:

для множества точек A, если для каждой точки m в A существует точка q в A, такая, что k находится в середине отрезка mq, такая ak не имеет принадлежать A.

Например, это множество имеет особую точку k = (0.5, 0.5) для набора из четырех точек (1,0), (0,1), (1,1), (0 , 0).

Когда меня спросили об этом, я был совершенно против покера, ничего не пришло мне в голову. Думаю, для этого нужен сильный геометрический фон.