Запрос не возвращает правильные результаты в функции

Следующая функция настроена для:

1. Собирать user_id из моей базы данных, как вы можете видеть ниже WHERE subscriber = '$ user' . А затем:
2. возвращает возможные множественные значения, которыми являются user_id .

Однако, когда я попытался использовать эту функцию, она собрала только массив с ключом 0 и значением user_id . По очевидным причинам я хочу, чтобы массив содержал числовое значение из столбца user_id в моей базе данных с ключом user_id .

function get_subscribitions($user)
{
    $user = mysql_real_escape_string ($user);

    $sql = "SELECT 'user_id' FROM `subscribe` WHERE subscriber = '$user'";

    $result = mysql_query($sql);

    $rows = array();

    while ($row = mysql_fetch_assoc($result)) {
        $rows[] = $row;
    }

    mysql_free_result($result);

    return $rows;
}

Кто-нибудь может указать, где я делаю ошибку, ведущую к этим связанным проблемам?

Любая помощь приветствуется, заранее спасибо!