Каков наилучший способ завершить () действие из службы переднего плана, не выводя приложение на передний план?

Вы действительно можете использовать Option::as_ref , вам просто нужно использовать его раньше:

impl Bar {
    fn borrow(&self) -> Result<&Box, BarErr> {
        self.data.as_ref().ok_or(BarErr::Nope)
    }
}

Существует метод сопутствующих для изменяемых ссылок: Option::as_mut :

impl Bar {
    fn borrow(&mut self) -> Result<&mut Box, BarErr> {
        self.data.as_mut().ok_or(BarErr::Nope)
    }
}