Как сделать так, чтобы html-файл сам включался, не обновляя страницу при каждом нажатии кнопки или ссылки?

Вам просто нужно указать правильный порядок с помощью инструкции.

SELECT ID FROM myTable WHERE ID IN(1,2,3,4) ORDER BY ID

Почему вы хотите, чтобы ваши данные были упорядочены неупорядоченными, как в вашем примере?

Если вы не возражайте объединить длинные запросы, попробуйте вот так:

SELECT ID FROM myTable WHERE ID=1
UNION
SELECT ID FROM myTable WHERE ID=3
UNION
SELECT ID FROM myTable WHERE ID=2