Вы не можете напрямую обращаться к базе данных sqlite удаленно. Если вам нужно поделиться им, вам нужно будет разработать веб-сервис и поговорить с веб-службой, а не с базой данных из вашего приложения Qt.
Есть несколько инструментов, которые действуют как веб-сервис для таких вещей, как что, например этот сайт имеет некоторые ссылки.