У меня есть три раскрывающихся списка, и я хочу, чтобы при выборе значения первого раскрывающегося списка это значение не отображалось во втором раскрывающемся списке.

Вам необходимо изменить данные для всех трех выпадающих меню select2. Прямо сейчас вы даете одинаковые данные для всех трех выпадающих. Здесь вы можете попробовать два подхода:

1.Создать массив с начальными значениями. Когда в первом раскрывающемся списке выбрано какое-то значение, скопируйте значения массива, кроме выбранного, в другой массив. Теперь используйте этот массив для второго выпадающего списка. Вы можете использовать событие onchange в раскрывающихся списках для обнаружения изменений и обновления массива для следующего раскрывающегося списка.

<select class="js-example-templating1" name="mem1" onchange="updateNextArray()">
        <?php
          $query = "select * from user";
          $query_result = query($query);
        while($row = fetch_array($query_result)) {
            echo "<option value='{$row['user_id']}'>{$row['user_id']} - {$row['name']}</option>";
        }
        ?>
      </select>
      <br><br>
      <select class="js-example-templating2" name="mem2" onchange="updateNextArray()">
        <?php
          $query = "select * from user";
          $query_result = query($query);
        while($row = fetch_array($query_result)) {
            echo "<option value='{$row['user_id']}'>{$row['user_id']} - {$row['name']}</option>";
        }
        ?>
      </select>
      <br><br>
      <select class="js-example-templating3" name="mem3" onchange="updateNextArray()">
        <?php
          $query = "select * from user";
          $query_result = query($query);
        while($row = fetch_array($query_result)) {
            echo "<option value='{$row['user_id']}'>{$row['user_id']} - {$row['name']}</option>";
        }
        ?>
      </select>
<script>
function updateNextArray(){
//update array here
}
function formatState (state) {
if (!state.id) {
return state.text;
}
var $state = $(
'<span>' + state.text + '</span>'
);
return $state;
};
$(".js-example-templating1").select2({
data: Array1,
templateResult: formatState
});
$(".js-example-templating2").select2({
data: Array2,
templateResult: formatState
});
$(".js-example-templating3").select2({
data: Array3,
templateResult: formatState
});
</script>

2.AJAX будет работать, если вы используете его правильно.

$(".js-example-templating").select2({
    ajax: {
        url: '../../subjects.json', // or api endpoint which supplies the array
        dataType: 'json',
    });