Laravel: выберите студентов, у которых нет оплаты в месяц

Я не знаю, какую ценность вы здесь передаете.

$today->month

Вместо этого $ сегодня-> месяц вы должны указать здесь точный месяц

Пожалуйста, попробуйте это

$indebted = DB::table('students')->where('students.active',1)   
            ->leftJoin('payments', 'students.id', '=', 'payments.user_id')
            ->whereMonth('payments.created_at','=', 06)
            ->get();