Как получить данные после успешного подключения к сокету .io?

Таким образом, таблицы - это список событий, которые вы должны прослушать. conversationsList и messagesList являются особым случаем, потому что они двунаправлены (имеется в виду, что вы должны излучать их, а также получать их. Я понимаю их как цепочку. Вы будете излучать список бесед только тогда, когда вы подключены. Возможное решение:

var manager = SocketManager(socketURL: URL(string: "url")!, config: [.log(true), .compress,.path("path"),.connectParams(["authorization":"token"])])
var socket = manager.defaultSocket
socket.on("connected") {data, ack in
    print("socket connected")
    print(socket.status)
    socket.emit("conversationsList", ["page": 1])
}

socket.on("conversationsList") {data, ack in
    print("Conversations List received")
    socket.emit("messagesList", ["conversation": "conversation_id", "page": 1])
    print(data)
}

Возможно, вам придется немного подправить способ передачи данных, но структура должна быть такой.