Где вызвать RegisterStartupScript, OnInit или OnLoad?

Я думаю, что вы должны использовать нижеследующий компонент Lifecycle, как если бы у вас было свойство ввода, которое при обновлении должно запускать обновление вашего компонента, тогда это лучшее место для его выполнения, поскольку оно будет вызываться до того, как вы даже сможете сделать компонент обновления состояние, которое должно отражаться на представлении.

componentWillReceiveProps: function(nextProps) {
  this.setState({
    likesIncreasing: nextProps.likeCount > this.props.likeCount
  });
}