Адаптивный / флюидный дизайн: использование линейной интерполяции для макета

В дополнение к parseInt вам нужно сначала установить значение init на localStorage, потому что localStorage.getItem("highscore",10) не возвращает 10 в качестве значения по умолчанию, если не установлено

var score = 0;
var highscore = 0;
localStorage.setItem("highscore",0);

Потому что, когда вы проверяете

if (score > parseInt(localStorage.getItem("highscore"))) {
  localStorage.setItem("highscore", score);
}

, localStorage.getItem("highscore") возвращает null, если элемент еще не установлен. Или вы также можете сделать:

var storagedHighScore = localStorage.getItem("highscore");
if (storagedHighScore  || score > parseInt(storagedHighScore)) {
  localStorage.setItem("highscore", score);
}