Как я могу получить URL из нового изображения с помощью Cloud Function с Flutter?

Я уверен, что нет простого способа.

Я бы сохранил таблицу в Firebase с исходным именем файла в качестве ключа, а новое имя файла - как значение.

Вы создаете запись из своей облачной функции выше и читаете ее из Flutter, используя доступ к базе данных Firebase (база данных Realtime или облачная Firestore)