Отображать заголовок состояния только один раз и по-прежнему отображать все адреса в этом состоянии

Посмотрите на код здесь. Я добавил несколько точек с запятой в ваши операторы echo и добавил переменную запроса в метод mysqli_fetch_assoc. Я также добавил несколько комментариев, чтобы помочь вам понять, что я здесь сделал.

<?php
$query = "SELECT * FROM places";
$select_all_places = mysqli_query($connection, $query);

// This will be the state we are currently on. Start it as null.
$current_state = '';

while($row = mysqli_fetch_assoc($select_all_places)){
    $p_state = $row['p_state'];
    $p_city = $row['p_city'];
    $p_address = $row['p_address'];

?>
    <!-- Check if variable state is equal to current row's state. -->
    <?php if($current_state != $p_state): ?>

        <!-- Echo state if they aren't equal  -->
        <h1><?php echo $p_state; ?></h1>

        <!-- Assign new current state -->
        <?php $current_state = $p_state; ?>
    <?php endif; ?>
    <h2><?php echo $p_city; ?></h2>
    <p><?php echo $p_address; ?></p>

<?php } ?>