Самый простой способ удалить временную часть из экземпляра NSDate -
let startOfDate = NSCalendar.currentCalendar().startOfDayForDate(NSDate())
Чтобы получить дату в зависимости от текущего часового пояса, используйте
let calendar = NSCalendar(identifier: NSCalendarIdentifierGregorian)!
calendar.timeZone = NSTimeZone(forSecondsFromGMT: 0)
let startOfDate = calendar.startOfDayForDate(NSDate())
println(startOfDate)