Почему я могу получить доступ к производной закрытой функции-члену через указатель базового класса на производный объект?

.NET для UWP не имеет класса WebClient.

Но у вас есть несколько альтернативных способов загрузки данных из URL в UWP.

Например:

    var request = WebRequest.CreateHttp("http://www.bing.com");

    var donnetClient = new System.Net.Http.HttpClient();

    var winrtClient = new Windows.Web.Http.HttpClient();

Если вы хотите загрузить данные на фоне, вы можете использовать класс BackgroundDownloader