Автоматическое расположение iOS и UIToolbar / UIBarButtonItems

Второй запрос должен использовать $thelist не $row, и он должен быть вне цикла while. Цикл foreach не нужен при обработке одной строки. Вы можете получить доступ к имени в $row с помощью простого $row[0]. Что-то вроде этого (untested):

$query1 = "SELECT name FROM clients WHERE sector = '$sectorlink'";
$clientresult = mysql_query($query1, $connection) or trigger_error("SQL", E_USER_ERROR);

while($row = mysql_fetch_array($clientresult)){
    $temp[] = '"'.$row[0].'"';
}

$thelist = implode(",",$temp);
$query = "SELECT count(*) FROM studies WHERE client IN ($thelist) ORDER BY (date) desc";
$result = mysql_query($query, $connection) or trigger_error("SQL", E_USER_ERROR);

Внимание! Помните, что ваш код очень уязвим для SQL-инъекций . Это нормально для тестирования или внутреннего развития, но если этот код будет работать на веб-сайте Fort Knox, вы захотите его исправить совсем немного. Просто FYI. : -)