Вы можете заставить его работать со следующим Binding:
Binding="{Binding Path=.}
Но он не решит вашу проблему, потому что строки являются типичными, которые являются неизменяемыми, то есть вы не можете изменить ссылку на строку, с которой вы привязались ваш пользовательский интерфейс.
Итак, ваши мысли верны, вам нужно будет обернуть эти строки в объекты, использовать свойство path для привязки и передать эти объекты в ваш DataGrid.
public class StringWrapper
{
public string Value { get; set; }
}