Я предпочитаю использовать библиотеку date-fns для обработки даты. Это действительно отличный модульный и последовательный инструмент. Вы можете получить начало и конец дня следующим образом:
var startOfDay = dateFns.startOfDay;
var endOfDay = dateFns.endOfDay;
console.log('start of day ==> ', startOfDay(new Date('2015-11-11')));
console.log('end of day ==> ', endOfDay(new Date('2015-11-11')));