Попробуйте что-то вроде этого:
$( "#watched_textarea" ).keyup( function() {
$( "#output_div" ).html( $( this ).val().replace('\n', '<br/>') );
});
В HTML пробелы по умолчанию игнорируются.
Вы также можете сменить тэг <div>
на тег <pre>
:
<pre id="output_div"></pre>
И это тоже сработает.