В то время как ответ rajan ks (Спасибо!) работает, он не похож на макет дизайна на 100% (заполнение естественно увеличивает размер SearchView, не увеличивая размер файла EditText).
Решение Я нашел следующее: В MainActivity.java измените search_edit_frame, search_plate и search_bar:
int searchFrameId = searchView.getContext().getResources().getIdentifier("android:id/search_edit_frame", null, null);
View searchFrame = searchView.findViewById(searchFrameId);
searchFrame.setBackgroundResource(R.drawable.bg_white_rounded);
int searchPlateId = searchView.getContext().getResources().getIdentifier("android:id/search_plate", null, null);
View searchPlate = findViewById(searchPlateId);
searchPlate.setBackgroundResource(R.drawable.bg_white_rounded);
int searchBarId = searchView.getContext().getResources().getIdentifier("android:id/search_bar", null, null);
View searchBar = findViewById(searchBarId);
searchBar.setBackgroundResource(R.drawable.bg_white_rounded);
Это приводит к тому, что SearchView выглядит точно так же, как макет.