Используя API Python, это довольно просто:
from selenium import webdriver
browser = webdriver.Firefox()
print browser.binary.process.pid
# browser.binary.process is a Popen object...
Если вы используете Chrome, это немного сложнее, вы проходите через процесс хромирования:
c = webdriver.Chrome()
c.service.process # is a Popen instance for the chromedriver process
import psutil
p = psutil.Process(c.service.process.pid)
print p.get_children(recursive=True)