Прокручивайте второй массив каждый раз, когда вы перебираете элемент в первом массиве, затем проверяйте совпадения.
var array1 = ["cat", "sum", "fun", "run"],
array2 = ["bat", "cat", "dog", "sun", "hut", "gut"];
function getMatch(a, b) {
var matches = [];
for ( var i = 0; i < a.length; i++ ) {
for ( var e = 0; e < b.length; e++ ) {
if ( a[i] === b[e] ) matches.push( a[i] );
}
}
return matches;
}
getMatch(array1, array2); // ["cat"]