Почему переменные объявляются с их именем интерфейса в Java? [дубликат]

Спасибо за общие ответы. Вот другая попытка суммирования их. Прощение, если я говорю слишком много "очевидных" вещей: Я ничего не знал о наименьших квадратах прежде, таким образом, все было плохо мне знакомо.

НЕ полиномиальной интерполяция

Полиномиальной интерполяция соответствует многочлену градуса n, учитывая n+1 точки данных, например, находит кубическое, которое передает точно через четыре данных точки. Как сказано в вопросе, это не было, хотят меня wanted—, я имел много точек и хотел многочлен маленького градуса (который будет [только 1 128] [приблизительно 1 128] соответствие, если мы не были удачливы), —, но так как некоторые ответы настояли на том, чтобы говорить об этом, я должен упомянуть их:) Lagrange многочлен , матрица Vandermonde , и т.д.

, Что такое наименьшие квадраты?

"Наименьшие квадраты" конкретное определение/критерий / "метрика" "как хорошо" аппроксимации полиномом. (Существуют другие, но это является самым простым.) Говорят, что Вы пытаетесь соответствовать многочлену p (x, y) = + основной обмен + cy + дуплекс 2 глоток> + ey 2 глоток> + fxy к некоторым точкам определенных данных (x _я , y _я , Z _я ) (где "Z _я " был "f (x _я , y _я )" в вопросе). С наименьшими квадратами проблема состоит в том, чтобы найти "лучшие" коэффициенты (a, b, c, d, e, f), такими, что то, что минимизировано (сохранил "меньше всего"), является "суммой квадратов остатков", а именно,

S = ∑ _я (+ основной обмен _я + cy _я + дуплекс _я 2 глоток> + ey _я 2 глоток> + fx _я y _я - Z _я ) 2 глоток>

Теория

важная идея состоит в том, что при рассмотрении S как функции (a, b, c, d, e, f), тогда S , минимизировал в точке, в которой градиент 0 . Это означает это, например, ∂ S/∂ f=0, т.е. это

∑ _я 2 (+ … + fx _я y _я - Z _я ) x _я y _я = 0

и подобные уравнения для a, b, c, d, e. Обратите внимание, что это просто линейные уравнения в a… f. Таким образом, мы можем решить их с [1 115] Исключение Гаусса или любой из [1 116] обычные методы .

Это все еще называют "линейными наименьшими квадратами", потому что, хотя функция мы хотели, был квадратичный многочлен, это все еще линейно в параметрах (a, b, c, d, e, f). Обратите внимание, что то же самое работает, когда мы хотим, чтобы p (x, y) был любой "линейной комбинацией" [1 130] произвольный f_j функций вместо просто многочлена (= "линейная комбинация одночленов").

Код

Для одномерного случая (когда существует только переменный x — f_j, одночлены x j глоток>), существует Numpy polyfit :

>>> import numpy
>>> xs = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> ys = [1.1, 3.9, 11.2, 21.5, 34.8, 51, 70.2, 92.3, 117.4, 145.5]
>>> p = numpy.poly1d(numpy.polyfit(xs, ys, deg=2))
>>> print p
       2
1.517 x + 2.483 x + 0.4927

Для многомерного случая или линейных наименьших квадратов в целом, существует SciPy. , Как объяснено в его документации , это берет матрицу f_j значений ( x _я ). (Теория состоит в том, что это находит псевдоинверсия Мура-Пенроуза из A.) С нашим выше вовлечения в качестве примера (x _я , y _я , Z _я ), соответствуя многочлену означает, что f_j является одночленами x () глоток> y () глоток>. Следующее находит лучшее квадратичное (или лучший многочлен любого другого градуса при изменении "градуса = 2" строки):

from scipy import linalg
import random

n = 20
x = [100*random.random() for i in range(n)]
y = [100*random.random() for i in range(n)]
Z = [(x[i]+y[i])**2 + 0.01*random.random() for i in range(n)]

degree = 2
A = []
for i in range(n):
    A.append([])
    for xd in range(degree+1):
        for yd in range(degree+1-xd):
            A[i].append((x[i]**xd)*(y[i]**yd)) #f_j(x_i)

c,_,_,_ = linalg.lstsq(A,Z)
j = 0
for xd in range(0,degree+1):
    for yd in range(0,degree+1-xd):
        print " + (%.2f)x^%dy^%d" % (c[j], xd, yd),
        j += 1

печать

 + (0.01)x^0y^0  + (-0.00)x^0y^1  + (1.00)x^0y^2  + (-0.00)x^1y^0  + (2.00)x^1y^1  + (1.00)x^2y^0

, таким образом, это обнаружило, что многочлен является x 2 глоток> +2xy+y 2 глоток> +0.01. [Последний срок иногда-0.01 и иногда 0, который должен ожидаться из-за случайных помех, которые мы добавили.]

Альтернативы Python+Numpy/Scipy R и Компьютерные Системы Алгебры: Sage, Mathematica, Matlab, Клен. Даже Excel мог бы быть в состоянии сделать это. Числовые Рецепты обсуждает методы для реализации его самостоятельно (в C, Фортране).

Проблемы

• Это сильно под влиянием [1 153], как точки выбраны . Когда я имел x=y=range(20) вместо случайных точек, это всегда производило 1.33x 2 глоток> +1.33xy+1.33y 2 глоток>, который был озадачивающим..., пока я не понял, что, потому что я всегда имел x[i]=y[i], многочлены были тем же: x 2 глоток> +2xy+y 2 глоток> = 4x 2 глоток> = (4/3) (x 2 глоток> +xy+y 2 глоток>). Таким образом, мораль - то, что важно выбрать точки тщательно для получения "правильного" многочлена. (Если Вы можете, выбрал, необходимо выбрать Chebyshev узлы для полиномиальной интерполяции; не уверенный, если то же верно для наименьших квадратов также.)
  
• Сверхустановка : многочлены более высокого градуса могут всегда соответствовать данным лучше. Если Вы изменяетесь degree на 3 или 4 или 5, это все еще главным образом распознает тот же квадратичный многочлен (коэффициенты 0 для условий более высокого градуса), но для больших градусов, это запускает подходящие многочлены более высокого градуса. Но даже с градусом 6, беря больший n (больше точек данных вместо 20, говорят 200), все еще соответствует квадратичному многочлену. Таким образом, мораль должна постараться не сверхсоответствовать, для которого она могла бы помочь взять как можно больше точек данных.
• могли бы быть проблемы [1 124] числовая устойчивость , я не полностью понимаю.
• , Если Вам не нужен многочлен, можно получить лучшие соответствия с другими видами функций, например, шлицы (кусочные полиномы).