Как сделать экспоненциальную и логарифмическую подгонку кривой в Python? Я нашел только полиномиальную подгонку

Для подбора y = A + B log x , просто поместите y ] против (log x ).

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

Для подгонки y = Ae ^Bx , логарифм обеих сторон дает log y = log A + Bx . Подгоните (log y ) против x .

Обратите внимание, что аппроксимация (log y ), как если бы она была линейной, будет подчеркивать небольшие значения y , вызывая большое отклонение для больших y .Это связано с тем, что polyfit (линейная регрессия) работает путем минимизации ∑ _i (Δ Y ) ² = ∑ _i ] ( Y _i - Ŷ _i ) ² . Когда Y _i = log y _i , остатки Δ Y _i = Δ (log y _i ) ≈ Δ y _i / | y _i |. Таким образом, даже если polyfit принимает очень плохое решение для больших y , «разделить на | y |» Фактор компенсирует это, в результате чего polyfit отдает предпочтение малым значениям.

Это можно смягчить, присвоив каждой записи «вес», пропорциональный y . polyfit поддерживает взвешенный метод наименьших квадратов с помощью аргумента ключевого слова w .

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

Обратите внимание, что Excel, LibreOffice и большинство научных калькуляторов обычно используют невзвешенную (смещенную) формулу для линий экспоненциальной регрессии / тренда. Если вы хотите, чтобы ваши результаты были совместимы с этими платформами, не включайте веса, даже если они обеспечивают лучшие результаты.

Теперь, если вы можете использовать scipy, вы можете использовать scipy.optimize.curve_fit , чтобы соответствовать любой модели без преобразований.

Для y = A + B log x результат такой же, как и метод преобразования:

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

Для y = Ae ^Bx , однако мы можем получить лучшее соответствие, поскольку он вычисляет Δ (log y ) напрямую. Но нам нужно предоставить предположение об инициализации, чтобы curve_fit мог достичь желаемого локального минимума.

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.