Примеры погрешности с плавающей точкой

Существует в основном два основных подводных камня, которые натыкаются с числами с плавающей точкой.

1. Проблема масштаба. Каждый номер FP имеет экспонент, который определяет общую «масштаб» числа, чтобы вы могли представлять собой действительно маленькие значения, либо на самом деле большие больные, хотя количество цифр, которые вы можете посвятить для этого ограничен. Добавление двух чисел разных масштабов иногда приведет к меньшему количеству «съеденного», поскольку нет способа вписать его в большую масштаб.

    PS> $ a = 1;  $ b = 0,0000000000000000000000000000000000000000001
   PS> PROCE-HOSTE A = $ A B = $ B
   A = 1 B = 1E-25
   PS> $ A + $ B
   1.
    

   Как аналогия для этого случая вы можете изобразить большой бассейн и чайную ложку воды. Оба имеют очень разные размеры, но индивидуально вы можете легко понять, как сильно они примерно. Однако наливая чайную ложку в бассейн, оставит вас по-прежнему с примерно на бассейне, полный воды.

   (Если люди учатся у этого возникли проблемы с экспоненциальной записью, можно также использовать значения 1 и 1000000000000000000000000 или около того.)

2. Тогда возникает проблема двоичных против десятичного представления. НОМЕР, как 0,1 , не может быть представлено точно с ограниченным количеством двоичных цифр. Некоторые языки маскируют это, хотя:

    PS> "{0: n50}" -F 0.1
   0.10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
    

   Но вы можете «усилить» ошибку представления, повторно добавляя номера вместе:

    PS> $ SUM = 0;  для ($ i = 0; $ i -lt 100; $ i ++) {$ sum + = 0,1};  сумма
   9 9999999999998
    

   Я не могу придумать хорошую аналогию, чтобы правильно объяснить это. Это в основном та же проблема, почему вы можете представлять ¹ / ₃ только примерно в десятичных случаях, потому что для получения точного значения необходимо повторить 3 неопределенно в конце десятичной дроби.

   Аналогичным образом двоичные фракции хороши для представления половинок, кварталов, восьмых и т. Д. Но подобные вещи, подобные десятому, получат бесконечно повторяющий поток двоичных цифр.

3. Тогда есть еще одна проблема, хотя большинство людей не наткнутся на это, если они не делают огромные количества численного материала. Но тогда те, кто уже знают о проблеме. Поскольку многие номера с плавающей точкой являются просто приближения точного значения, это означает, что для данного приближения f реального числа R может быть бесконечно много более действительных чисел ₁ , R ₂ , ... какая карта точно такое же приближение. Эти цифры лежат в определенном интервале. Допустим, R _мин - минимально возможное значение R , что приводит к f и R _MAX Максимально возможное значение R , для которого это удерживает, то у вас есть интервал [ R _min , R _max ] Где любое число в Этот интервал может быть вашим фактическим числом R .

   Теперь, если вы выполняете расчеты на это добавление номера, вычитание, умножение и т. Д. - Вы теряете точность. Каждое число - это просто приближение, поэтому вы фактически выполняете расчеты с интервалами . Результатом также является интервал, и ошибка аппроксимации только что-либо становится больше, тем самым расширяя интервал. Вы можете вернуть одно число из этого расчета. Но это просто один номер из интервала возможен результаты результатов, с учетом точности ваших исходных операндов и прецизионной потери из-за расчета.

   Такая вещь называется интервал арифметики и, по крайней мере, для меня, это была часть нашего математического курса в университете.