примечание: этот ответ предполагает, что ваша форма является правильным многоугольником.

Для наших целей мы определим положение равновесия как положение, при котором Центр масс находится непосредственно над точкой, которая находится между крайней левой и крайней правой точками контакта с землей объекта (при условии, что земля плоская поверхность, перпендикулярная силе тяжести). Это будет работать во всех случаях для всех форм.

Обратите внимание, что это фактически физическое определение вращательного равновесия, как следствие ньютоновской вращательной кинематики.

Для правильного многоугольника, если мы исключим случаи, когда они стоят на единственной вершине, это определение эквивалентно устойчивому положению.

Итак, если у вас прямая гравитация, направленная вниз, сначала найдите крайнюю левую и крайнюю правую ее части, которые касаются земли.

Затем вычислите свой Центр масс. Для многоугольника с известными вершинами и однородной плотностью эта задача сводится к нахождению Центроида ( соответствующий раздел ).

После этого напишите письмо из своего CoM; если точка пересечения CoM и земли находится между этими двумя значениями x, значит, она находится в состоянии равновесия.

Если ваша самая левая и самая правая точки совпадают (т. Е. В круглом объекте), это все равно останется; просто не забывайте быть осторожными с вашими сравнениями с плавающей запятой.

Обратите внимание, что это также можно использовать для измерения «устойчивости» объекта - эта мера представляет собой максимальное расстояние по оси Y, на которое Центр масс может переместиться, прежде чем он выйдет за пределы диапазона двух точек контакта.

РЕДАКТИРОВАТЬ: изящная диаграмма, сделанная наспех

Итак, как вы можете использовать ее, чтобы найти все способы, которыми она может разместиться на столе? См .:

РЕДАКТИРОВАТЬ

Программируемый подход

Вместо дорогостоящей вычислительной задачи поворота формы попробуйте это.

Представление вашей формы в вашей программе, вероятно, должно иметь список всех вершин.

Найдите вершины выпуклой оболочки вашей фигуры (в основном, вашей формы, но со всеми вогнутыми вершинами - вершинами, которые "вдавлены" - удалены).

Затем выполните итерацию по каждой из пар соседних вершин выпуклой оболочки (т.е. если бы у меня были вершины A, B, C, D, я бы перебирал AB, BC, CD, DA).

Выполните этот тест :

1. Проведите линию A через две тестируемые вершины
2. Проведите линию, перпендикулярную A , проходящую через CoM C .
3. Найдите пересечение двух прямых (простая алгебра)
4. Если значение y пересечения находится между значениями y двух вершин, оно стабильно. Если значения y равны, сравните значения x.

Это должно помочь.

Вот пример теста, запущенного на одной паре вершин:

Если ваша фигура не представлена ​​своими вершинами в вашей структуре данных, вы должны попытаться преобразовать их.Если это что-то вроде круга или эллипса, вы можете использовать эвристику, чтобы угадать ответ (круг имеет бесконечные положения равновесия; эллипс 4, хотя и только две «устойчивые» точки). Если это изогнутая, шаткая неправильная форма, вам придется предоставить свою структуру данных, чтобы я мог помочь программным способом, вместо того, чтобы просто предоставлять эвристику для каждого конкретного случая.

Я уверен, что это не самый эффективный алгоритм, но это идея.

Если вы можете упорядочить вершины многоугольника (при условии, что он имеет конечное число вершин), то просто перебирайте смежные пары вершин и записывайте угол, под которым он опирается, с помощью некоторой формы моделирования. В случае странных форм, таких как звезды, будут дублированные ориентации, но вы можете приспособиться к этому, отслеживая вращение в состоянии покоя.