Этот код работает:
private void TabControl_SelectionChanged(object sender, SelectionChangedEventArgs e)
{
TabItem selectedTab = e.AddedItems[0] as TabItem; // Gets selected tab
if (selectedTab.Name == "Tab1")
{
// Do work Tab1
}
else if (selectedTab.Name == "Tab2")
{
// Do work Tab2
}
}