MySQL может отображать таблицы, но не может получить доступ к данным (ошибка: 13 - Отказано в доступе)

Вы можете использовать jQuery JSONP:

$.ajax( {
    url: "https://en.wikipedia.org/w/api.php",
    jsonp: "callback", 
    dataType: 'jsonp', 
    data: { 
        action: "query", 
        list: "search", 
        srsearch: "javascript", 
        format: "json" 
    },
    xhrFields: { withCredentials: true },
    success: function(response) { ... }
}