Интеграция в Mathematica

Я хотел бы получить другое решение проблемы, которую я решил «символически» и с помощью небольшого моделирования. Теперь я хотел бы знать, как я мог получить интеграцию напрямую с помощью Mathematica.

Пожалуйста, рассмотрите цель, представленную диском с r = 1, с центром в точке (0,0). Я хочу сделать симуляцию моей вероятности поразить эту цель, метая дротики.

У меня нет предубеждений, когда я их бросаю, то есть в среднем я попадаю в центр mu = 0, но моя дисперсия равна 1.

Учитывая координаты моего дротика, когда он попадает в цель (или стену: - )) У меня есть следующие распределения, 2 гауссиана:

XDistribution : 1/Sqrt[2 \[Pi]\[Sigma]^2] E^(-x^2/(2 \[Sigma]^2))

YDistribution : 1/Sqrt[2 \[Pi]\[Sigma]^2] E^(-y^2/(2 \[Sigma]^2))

С этими двумя распределениями с центром в 0 с равной дисперсией = 1, мое совместное распределение становится двумерным гауссовым, например:

1/(2 \[Pi]\[Sigma]^2) E^(-((x^2 + y^2)/(2 \[Sigma]^2)))

Итак, мне нужно знать свою вероятность попадания в target или вероятность того, что x ^ 2 + y ^ 2 будет ниже 1.

Интегрирование после преобразования в полярной системе координат дало мне первое решение: 0,39. Моделирование подтвердило это с помощью:

Total@ParallelTable[
   If[
      EuclideanDistance[{
                         RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[1]]], 
                         RandomVariate[NormalDistribution[0, Sqrt[1]]]
                        }, {0, 0}] < 1, 1,0], {1000000}]/1000000

Я считаю, что есть более элегантный способ решить эту проблему, используя возможности интеграции Mathematica, но мне так и не удалось отобразить работу эфира.