Проблемы с подмодулями git, когда подмодули являются частными репозиториями Github

У меня есть приватное репо на Github, в котором находятся 3 подмодуля, все 3 из которых также являются приватными.

Я сгенерировал 4 ключа SSH на своем сервере EC2 и применил их в качестве ключей развертывания Github ко всем 4 частным репозиториям.

Я могу клонировать основной репозиторий, так как он распознает ключ SSH. Когда я запускаю «git submodule update», в частных репозиториях происходит сбой со следующей ошибкой:

ОШИБКА: репозиторий не найден. фатальный: удаленный конец неожиданно завис

Если я вручную извлекаю эти частные репозитории, это работает, но не при использовании команды git submodule. Любая идея? Это не полностью поддерживается?