Правильное преобразование нормали к поверхности

Согласно Красной книге OpenGL, Приложение F, обычная матрица трехмерного преобразования M может использоваться для расчета действия на вектор нормали следующим образом:

normalTransformed = transpose(inverse(M)) * normal

Однако, хотя ортогональная плоскость, связанная с преобразованной нормалью, действительно трансформированной поверхности, может случиться так, что сам трансформированный вектор нормали указывает направление, противоположное ожидаемому, т. е. «в» поверхность, а не «вне» поверхности.

Если я хочу, чтобы normalTransformed указывал в правильном направлении (то есть в том же направлении, в котором он указывает, когда поверхность, к которой он прикреплен, не трансформируется), как мне это сделать математически?

ПРИМЕР

Предположим, моя нормаль к поверхности равна (0,0,1), а мое преобразование представляет собой перемещение на 10 в направлении Z. Матрица преобразования M тогда:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 10
0 0 0 1

Транспонирование(инверсия(M)) тогда:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 -10 1

Применительно к нормали к поверхности (0,0,1), т. е. (0,0,1,1) в однородных координатах, это дает:

normalTransformed = (0, 0, 1 , -9)

Назад от однородных координат:

(0, 0, -1/9)

Нормирование к длине 1:

(0, 0, -1)

Что указывает на направление, противоположное исходному вектору нормали (0, 0, 1).