Перебирая формулу, описывающую спираль, для генерации координат XY

Я пытаюсь сгенерировать спиральную галактику в виде координат xy (2D), но математика не моя сильная сторона.

Я почерпнул следующее из превосходного источникапо спиралям:

Радиус r(t) и угол t пропорциональны для простейшая спираль, спираль Архимеда. Поэтому уравнение таково:

(3) Полярное уравнение: r(t) = at [a постоянно].
Отсюда следует
(2) Форма параметра: x(t) = at cos(t), y(t) = at sin(t),
(1) Центральный уравнение: x²+y² = a²[арктангенс (y/x)]².

Этот вопроскак бы касался генерации галактик, но ответы были разбросаны и по-прежнему слишком сложны для того, что мне нужно (иначе, мой тупой математический ум не может их понять).

По сути, мне нужно прокрутить спиральную формулу в PHP примерно 5000 раз, чтобы сгенерировать точки на сетке XY размером 513x513. Размер сетки и необходимое количество точек могут измениться в будущем. Еще лучше было бы взвесить эти точки относительно происхождения спиралей как по частоте, так и по тому, насколько далеко они могут отклоняться от точной математической формулы, аналогично тому, как на самом деле выглядит галактика.

В этой математической статье говорится о формуле, описывающей структуру спиральных галактик.

Что меня полностью сбивает с толку, так это то, как преобразовать математическую формулу во что-то, что я могу зациклить на PHP!