Вы можете предотвратить отправку с помощью jQuery, а затем на самом деле вызвать native submit для отправки формы
$('#contact').on('submit', function(e) {
e.preventDefault();
var form = this;
$.ajax({
type: 'POST',
url: $(this).attr('ajaxgetaccommodationsbyemail'),
success: function(answer) {
popup(function(yesorno) {
if (yesorno) {
form.submit();
}
});
}
});
});
И удалить async:false
, потому что вы должны never делать syncronous ajax.