Я бы подошел к нему так же, как вы предполагали, в результате получив код ниже.
Короче, проверьте первый символ строки. Если это не гласный (not in ['a','e','i','o','u'
]), переместите символ в конец строки. Продолжайте делать это до тех пор, пока вы не нажмете гласный (так что «строка» станет «trings», а затем «ringst», а затем «ingstr», прежде чем пробить цикл). Когда вы, наконец, нажмете гласную, вы оставите цикл и напечатаете измененную строку + 'ay'. Если первый символ является гласным, вы оставляете цикл и печатаете строку + 'ay'.
Нет необходимости устанавливать согласную проверку - вы всегда проверяете первый символ (0). И нет необходимости иметь две переменные - просто продолжайте изменять и заменять исходную строку.
word_string = input("Input a word: ")
while word_string[0] not in ['a','e','i','o','u']:
word_string = word_string[1:] + word_string[0:1]
else:
print(word_string + 'ay')