Нет, нет способа сказать mongodb использовать индекс для существующего запроса. Индексирование полностью связано с данными. Поскольку $ существует, он связан только с ключами (полями), которые он не может использовать в индексах.
$ существует только проверяет, существует ли данный документ (или поле) в документе.