Если вы сделаете приложение невидимым, вы не увидите новый экземпляр Visio-открытия (все равно будет экземпляр Visio, который не является видимым)
Application application = new Application();
application.Visible = false;
Document doc = application.Documents.Add(this.path);
Console.WriteLine("Number of pages: " + doc.Pages.Count);