Проективное преобразование

Править

Предположение ниже об инвариантности угловых отношений является неправильным. Проективные преобразования вместо этого сохраняют сложные отношения и падение. Решение затем:

1. Найдите точку C' на пересечении строк определенной сегментами AD и CP.
2. Найдите точку B' на пересечении строк определенной сегментами AD и BP.
3. Определите сложное отношение B'DAC', т.е. r = (BA' * DC') / (DA * B'C').
4. Создайте спроектированную строку F'HEG'. Сложное отношение этих точек равно r, т.е. r = (F'E * HG') / (HE * F'G').
5. F'F и G'G пересекутся в спроектированной точке Q настолько приравнивающийся сложные отношения и знание длины стороны квадрата, можно определить положение Q с некоторой арифметической гимнастикой.

Hmmmm.... Я попробую этого. Это решение полагается при условии, что отношения углов сохраняются в преобразовании. См. изображение для руководства (извините для низкого качества изображения... ДЕЙСТВИТЕЛЬНО поздно). Алгоритм только обеспечивает отображение точки в четырехугольнике к точке в квадрате. Необходимо было бы все еще реализовать контакт с несколькими квадратическими точками, отображаемыми на той же квадратной точке.

Позвольте ABCD быть четырехугольником, где A является верхней левой вершиной, B является верхней правой вершиной, C является нижней правой вершиной, и D является нижней левой вершиной. Пара (xA, yA) представляют координаты X и Y вершины A. Мы отображаем точки в этом четырехугольнике к квадратному EFGH, сторона которого имеет длину, равную m.

Вычислите длины AD, CD, AC, BD и до н.э:

AD = sqrt((xA-xD)^2 + (yA-yD)^2)
CD = sqrt((xC-xD)^2 + (yC-yD)^2)
AC = sqrt((xA-xC)^2 + (yA-yC)^2)
BD = sqrt((xB-xD)^2 + (yB-yD)^2)
BC = sqrt((xB-xC)^2 + (yB-yC)^2)

Позвольте thetaD быть углом в вершине D и thetaC быть углом в вершине C. Вычислите эти углы с помощью теоремы косинусов:

thetaD = arccos((AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2*AD*CD))
thetaC = arccos((BC^2 + CD^2 - BD^2) / (2*BC*CD))

Мы отображаем каждую точку P в четырехугольнике к точке Q в квадрате. Для каждой точки P в четырехугольнике, сделайте следующее:

• Найдите расстояние DP:

  DP = sqrt((xP-xD)^2 + (yP-yD)^2)
  

• Найдите расстояние CP:

  CP = sqrt((xP-xC)^2 + (yP-yC)^2)
  

• Найдите угол thetaP1 между CD и DP:

  thetaP1 = arccos((DP^2 + CD^2 - CP^2) / (2*DP*CD))
  

• Найдите угол thetaP2 между CD и CP:

  thetaP2 = arccos((CP^2 + CD^2 - DP^2) / (2*CP*CD))
  

• Отношение thetaP1 к thetaD должно быть отношением thetaQ1 к 90. Поэтому вычислите thetaQ1:

  thetaQ1 = thetaP1 * 90 / thetaD
  

• Точно так же вычислите thetaQ2:

  thetaQ2 = thetaP2 * 90 / thetaC
  

• Найдите расстояние HQ:

  HQ = m * sin(thetaQ2) / sin(180-thetaQ1-thetaQ2)
  

• Наконец, положение X и Y Q относительно нижнего левого угла EFGH:

  x = HQ * cos(thetaQ1)
  y = HQ * sin(thetaQ1)
  

Необходимо было бы отслеживать то, сколько значений цвета отображается на каждой точке в квадрате так, чтобы можно было вычислить средний цвет для каждой из тех точек.

Я думаю, что Вы, после плоская homography, взгляните на эти примечания лекции:

http://www.cs.utoronto.ca/~strider/vis-notes/tutHomography04.pdf

Если Вы прокрутите вниз в конец, то Вы будете видеть пример, что Вы описываете. Я ожидаю, что существует функция в библиотеке Intel OpenCV, которая сделает просто это.

Существует проект C++ на CodeProject, который включает источник для проективных преобразований битовых массивов. Математика находится на Википедию здесь. Обратите внимание, что, насколько я знаю, проективное преобразование не отобразит произвольного четырехугольника на другого, но сделает так для треугольников, можно также хотеть искать, скос преобразовывает.

Если это преобразование должно выглядеть хорошим (в противоположность способу, которым битовый массив смотрит при изменении размеров его в Краске) Вы не можете только создать формулу, которая отображает целевые пиксели на исходные пиксели. Значения в целевом буфере должны быть основаны на усреднении комплекса соседних исходных пикселей, или иначе результаты будут высоко пикселизированы.

Таким образом, если Вы не хотите войти в некоторое сложное кодирование, используйте чужую волшебную функцию, как smacl и Ian предположили.

Вот то, как сделал бы это в принципе:

• отобразите источник к источнику B через traslation вектор t.
• возьмите единичные векторы (1,0) и (0,1) и вычислите, как они были бы отображены на единичные векторы B.
• это дает Вам матрицу преобразования M так, чтобы каждый вектор a в карты к M a + t
• инвертируйте матрицу и инвертируйте traslation вектор так для каждого вектора b в B у Вас есть обратное отображение b -> ^M-1 (b - t)
• после того как у Вас есть это преобразование для каждой точки в целевой области в B, найдите соответствие в A и копии.

Преимущество этого отображения состоит в том, что Вы только вычисляете точки, в которых Вы нуждаетесь, т.е. Вы циклично выполняетесь на целевых точках, не исходных точках. Это была широко используемая техника в "демонстрации, кодирующей" сцену несколько лет назад.

Использовать линейную алгебру намного проще, чем всю эту геометрию! Кроме того, вам не нужно использовать синус, косинус и т. Д., Поэтому вы можете сохранить каждое число как рациональную дробь и получить точный числовой результат, если он вам нужен.

Что вам нужно, так это сопоставление ваших старых координат (x, y) с новыми координатами (x ', y'). Вы можете сделать это с помощью матриц. Вам нужно найти матрицу проекции P размером 2 на 4 так, чтобы P, умноженное на старые координаты, равнялось новым координатам. Предположим, что вы сопоставляете линии с линиями (а не, например, прямые линии с параболами). Поскольку у вас есть проекция (параллельные линии не остаются параллельными) и перенос (скольжение), вам также нужен коэффициент (xy) и (1). Нарисовано в виде матриц:

          [x  ]
[a b c d]*[y  ] = [x']
[e f g h] [x*y]   [y']
          [1  ]

Вам нужно знать от a до h, поэтому решите эти уравнения:

a*x_0 + b*y_0 + c*x_0*y_0 + d = i_0
a*x_1 + b*y_1 + c*x_1*y_1 + d = i_1
a*x_2 + b*y_2 + c*x_2*y_2 + d = i_2
a*x_3 + b*y_3 + c*x_3*y_3 + d = i_3

e*x_0 + f*y_0 + g*x_0*y_0 + h = j_0
e*x_1 + f*y_1 + g*x_1*y_1 + h = j_1
e*x_2 + f*y_2 + g*x_2*y_2 + h = j_2
e*x_3 + f*y_3 + g*x_3*y_3 + h = j_3

Опять же, вы можете использовать линейную алгебру:

[x_0 y_0 x_0*y_0 1]   [a e]   [i_0 j_0]
[x_1 y_1 x_1*y_1 1] * [b f] = [i_1 j_1]
[x_2 y_2 x_2*y_2 1]   [c g]   [i_2 j_2]
[x_3 y_3 x_3*y_3 1]   [d h]   [i_3 j_3]

Вставьте углы для x_n, y_n, i_n, j_n. (Углы работают лучше всего, потому что они находятся далеко друг от друга, чтобы уменьшить ошибку, если вы выбираете точки, скажем, по щелчкам пользователя.) Возьмите обратную матрицу 4x4 и умножьте ее на правую часть уравнения. Транспонирование этой матрицы - P. Вы должны быть в состоянии найти функции для вычисления обратной матрицы и умножения в режиме онлайн.

Где вы, вероятно, столкнетесь с ошибками:

• При вычислении не забывайте проверять деление на ноль. Это признак того, что ваша матрица необратима. Это может произойти, если вы попытаетесь сопоставить одну координату (x, y) с двумя разными точками.
• Если вы пишете свою собственную математику матриц, помните, что матрицы обычно представляют собой строку, столбец (вертикальный, горизонтальный), а экранная графика - x, y (горизонтальная, вертикальная).Вы обязательно ошибетесь в первый раз.