Ограничение эллипса

Вы ищите Эллипсоид, охватывающий минимальный объем , или, в вашем случае 2D, минимальную площадь. Эта задача оптимизации является выпуклой и может быть решена эффективно. Посмотрите код MATLAB по ссылке, которую я включил - реализация тривиальна и не требует ничего более сложного, чем инверсия матрицы.

Любой, кто интересуется математикой, должен прочитать этот документ .

Кроме того, построить эллипс также просто - это можно найти здесь , но вам понадобится функция, специфичная для MATLAB, чтобы генерировать точки на эллипсе.

Но , поскольку алгоритм возвращает уравнение эллипса в матричной форме,

вы можете использовать этот код, чтобы увидеть, как преобразовать уравнение в каноническую форму,

используя Singular Разложение ценностей (SVD) . И затем довольно легко построить эллипс, используя каноническую форму .

Вот результат кода MATLAB на наборе из 10 случайных 2D точек (синий).

Другие методы, такие как PCA , не гарантируют, что эллипс, полученный в результате разложения ( eigen / сингулярное значение), будет минимальным ограничивающим эллипсом, поскольку точки за пределами эллипса являются показателем дисперсия.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Итак, если кто-нибудь прочитает документ, есть два способа сделать это в 2D: вот псевдокод оптимального алгоритма - субоптимальный алгоритм четко объяснен в документе:

Оптимальный алгоритм:

Input: A 2x10 matrix P storing 10 2D points 
       and tolerance = tolerance for error.
Output: The equation of the ellipse in the matrix form, 
        i.e. a 2x2 matrix A and a 2x1 vector C representing 
        the center of the ellipse.

// Dimension of the points
d = 2;   
// Number of points
N = 10;  

// Add a row of 1s to the 2xN matrix P - so Q is 3xN now.
Q = [P;ones(1,N)]  

// Initialize
count = 1;
err = 1;
//u is an Nx1 vector where each element is 1/N
u = (1/N) * ones(N,1)       

// Khachiyan Algorithm
while err > tolerance
{
    // Matrix multiplication: 
    // diag(u) : if u is a vector, places the elements of u 
    // in the diagonal of an NxN matrix of zeros
    X = Q*diag(u)*Q'; // Q' - transpose of Q    

    // inv(X) returns the matrix inverse of X
    // diag(M) when M is a matrix returns the diagonal vector of M
    M = diag(Q' * inv(X) * Q); // Q' - transpose of Q  

    // Find the value and location of the maximum element in the vector M
    maximum = max(M);
    j = find_maximum_value_location(M);

    // Calculate the step size for the ascent
    step_size = (maximum - d -1)/((d+1)*(maximum-1));

    // Calculate the new_u:
    // Take the vector u, and multiply all the elements in it by (1-step_size)
    new_u = (1 - step_size)*u ;

    // Increment the jth element of new_u by step_size
    new_u(j) = new_u(j) + step_size;

    // Store the error by taking finding the square root of the SSD 
    // between new_u and u
    // The SSD or sum-of-square-differences, takes two vectors 
    // of the same size, creates a new vector by finding the 
    // difference between corresponding elements, squaring 
    // each difference and adding them all together. 

    // So if the vectors were: a = [1 2 3] and b = [5 4 6], then:
    // SSD = (1-5)^2 + (2-4)^2 + (3-6)^2;
    // And the norm(a-b) = sqrt(SSD);
    err = norm(new_u - u);

    // Increment count and replace u
    count = count + 1;
    u = new_u;
}

// Put the elements of the vector u into the diagonal of a matrix
// U with the rest of the elements as 0
U = diag(u);

// Compute the A-matrix
A = (1/d) * inv(P * U * P' - (P * u)*(P*u)' );

// And the center,
c = P * u;