Функция градиента шума Перлина

Я пытаюсь адаптировать алгоритм трехмерного шума Перлина к более низким размерам, но у меня проблемы с функцией градиента, так как я не полностью понимаю аргументацию.

Первоначальная функция градиента Перлина принимает четыре аргумента: хэши трехмерную координату (x, y, z). Результат функции возвращается на основе значения hash mod 16, как указано ниже.

• 0: x + y
• 1: -x + y
• 2: x - y
• 3: -x - y
• 4: x + z
• 5: -x + z
• 6: x - z
• 7: -x - z
• 8: y + z
• 9: -y + z
• 10: у - z
• 11: -y - z
• 12: у + х
• 13: - y + z
• 14: y - x
• 15: -y - z

Возвращаемые значения от 0до 11составляют своего рода образец, поскольку каждая комбинация представлена ​​один раз. Последние четыре, однако, являются дубликатами.Почему они были выбраны так, чтобы соответствовать последним четырем возвращаемым значениям? И каковы будут аналогичные случаи с двумя (x, y)и одним (x)измерениями?