Umbraco ApplicationContext.Current - null

ApplicationContext.Current всегда будет null в этом случае, потому что ApplicationContext.Current ссылается на текущий исполняемый экземпляр приложения Umbraco. Для того, чтобы иметь исполняемый экземпляр, вам нужна полная установка Umbraco, настроенная, загруженная и запущенная.

Не думаю, что вы сможете сделать это с помощью Umbraco.Core самостоятельно и добавить все эти дополнительные библиотеки для в любом случае, для соединения с базой данных.

Если вам нужно получить доступ к конкретному содержимому базы данных Umbraco, лучшим вариантом будет добавить Umbraco Api Controller в фактический экземпляр Umbraco и выставить данные, которые вам нужны с помощью Web API.

При нажатии вы можете напрямую подключиться к базе данных, но база данных хорошо абстрагируется и нормализуется, поэтому, если вам не нужны только очень конкретные данные из базы данных, это не будет стоить усилий.